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Dynamique du point matériel en rotation autour d'un axe fixe

Après la cinématique et une première introduction aux lois de Newton, on découvre maintenant les lois de la cinématique et de la dynamique au cas particulier des corps en mouvement de rotation autour d'un axe fixe.

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I. Introduction

La rotation (du latin rotare: « tourner ») ou mouvement de rotation est l'un des deux mouvements simples fondamentaux avec le mouvement de translation rectiligne.

Un solide est en rotation si la trajectoire de tous ses points est un cercle dont le centre appartient à une même droite appelée « axe de rotation ».

Si on considère le seul mouvement de rotation de la Terre sur elle-même, les astronomes observent que :

  • le nombre de rotations de la Terre sur elle-même est de 365,2425 par an environ (soit une rotation propre en 23 heures 56 minutes et 4 secondes environ) ;
  • l'axe de rotation propre de la Terre est incliné d'environ 23° 26' par rapport au plan de l'écliptique (plan formé par l'orbite de la Terre en mouvement autour du Soleil) ;
  • comme la Terre n'est pas à proprement parler un solide rigide indéformable et à cause de l'action combinée du Soleil et de la Lune (influence des marées), la position de l'axe de rotation et la vitesse de rotation oscillent suivant des cycles soigneusement définis, mesurés et consignés dans les bulletins de l'International Earth Rotation and Referece Systems Service.

Avant d'attaquer sereinement les mouvements de rotation, il est recommandé de s'approprier les bases de la cinématique puis de la dynamique du point matériel dans les tutoriels suivants :

La cinématique des mouvements monodimensionnels

La cinématique des mouvements à plusieurs dimensions

La dynamique et les lois de Newton

II. Paramétrage

Afin de définir la position d'un solide (S) en mouvement de rotation autour d'un axe fixe, on attache respectivement au solide (S) et à la Terre les repères orthonormés directs Image non disponible et Image non disponible.

Le paramétrage de la position du solide (S) est donc le suivant :

Image non disponible

Le référentiel terrestre Image non disponible est supposé galiléen (ou inertiel).

Le solide S est guidé en rotation autour de l'axe Image non disponible.

On accroche au solide S un repère mobile Image non disponible tel que Image non disponible.

La position angulaire est définie par l'angle Image non disponible , fonction du temps t et exprimée en radian(rad).

On attache au solide (S) un point A dont la position est définie par ses coordonnées polairesImage non disponible avec Image non disponible.

III. Équations du mouvement

Ces équations sont très similaires à celles du mouvement de translation rectiligne (M.R.U. et M.R.U.A.).

III-A. Vitesse et accélération angulaire instantanée

On commence par définir la vitesse angulaire moyenne en rad/s entre deux instants t et t+dt :

Image non disponible

Pour obtenir la vitesse angulaire instantanée à l'instant t, on passe à la limite :

Image non disponible

Par analogie avec les mouvements de translation, on définit la vitesse angulaire comme la dérivée de la position angulaire.

Formule pratique : étant donné que : Image non disponible
on démontre la formule qui permet de convertir des rad/s en tours/min  : Image non disponible

De la même façon, on définit l'accélération angulaire instantanée en rad/s2:

Image non disponible

L'accélération angulaire est la dérivée de la vitesse angulaire, soit la dérivée seconde de la position angulaire.

III-B. Mouvement circulaire uniforme (M.C.U.)

Dans ce cas, à tout instant : Image non disponible

Image non disponible

III-C. Mouvement circulaire uniformément varié (M.C.U.V.*)

* ou au choix M.C.U.A. pour mouvement circulaire uniformément accéléré.

Dans ce cas, à tout instant : Image non disponible

Image non disponible

Si Image non disponible, on parle de mouvement circulaire uniformément accéléré.

Si Image non disponible, on parle de mouvement circulaire uniformément décéléré.

IV. Vitesse tangentielle et distribution des vitesses

IV-A. Dérivation temporelle d'un vecteur

Si on note(1)Image non disponible, les coordonnées du vecteur Image non disponible dans le repère Image non disponible, on définit la dérivée temporelle par rapport au repère Image non disponible, le vecteur :

Image non disponible

Quelques propriétés utiles :

  • si Image non disponible est fixe dans Image non disponible, alors Image non disponible, comme pour les fonctions à valeurs scalaires ;
  • si Image non disponible, Image non disponible, comme tout bon produit ;
  • de même pour un produit scalaire de deux vecteurs :Image non disponible.

IV-A-1. Exemple de calcul

Le vecteur Image non disponible étant mobile dans Image non disponible, on cherche à déterminer l'expression du vecteurImage non disponible.

Le lecteur peu familier avec la manipulation des équations pourra passer le développement qui suit et appliquer directement la formule de Bour du paragraphe suivant.

En projetant le vecteur Image non disponible dans le repère Image non disponible : Image non disponible

soit, Image non disponible.

Comme Image non disponible,

Image non disponible

O n rappelle que  Image non disponible . Les mathématiciens préféreront sans doute l'écriture  Image non disponible .
Ainsi, on démontre les relations :
- Image non disponible ;
- Image non disponible .

On reprend l'expression de Image non disponibleprécédente:

Image non disponible ,

soit :

Image non disponible.

On obtient finalement :

Image non disponible

On remarque que, à chaque instant, la dérivée du vecteur Image non disponible dans le repère fixe Image non disponible est orthogonale à ce vecteur. On peut généraliser ce résultat à tout vecteur Image non disponible de norme constante ( Image non disponible est un vecteur unitaire, Image non disponible ).
En effet, pour tout vecteur Image non disponible de norme constante  : Image non disponible
Comme Image non disponible , on a, puisque cette dérivée est nulle, Image non disponible .
Soit : Image non disponible , par définition du produit scalaire.

IV-A-2. Vecteur vitesse de rotation - formule de Bour

On définit le vecteur vitesse de rotation (ou vecteur de Poisson): Image non disponible.

Ce vecteur vitesse de rotation du repère Image non disponible par rapport au repère Image non disponible est le vecteur :

  • ayant pour direction l'axe de rotation Image non disponible ;
  • dont le sens est déterminé par les règles conventionnelles d'orientation (que l'on peut déterminer par différents moyens mnémotechniques comme la règle des trois doigts de la main droite, règle du tire-bouchon ou autres) ;
  • dont la norme est la vitesse angulaire, fonction du temps t .
Image non disponible

On reprend la relation obtenue précédemment : Image non disponible.

En remarquant que Image non disponible, on obtient : Image non disponible.

Cette relation peut être utilisée afin de généraliser la dérivation temporelle d'un vecteur quelconque par rapport à un repère inertiel. On donne sans démonstration la formule utile, appelée formule de Bour (ou formule de Poisson)(2):

Image non disponible

On remarquera que le choix du repère de dérivation est important.

Image non disponible La démonstration complète de la formule se trouve sur le site de Wiki méca :   Image non disponible Outils de dérivation vectorielle

IV-B. Vitesse tangentielle

On cherche à définir l'expression du vecteur vitesse du point A appartenant au solide S en mouvement de rotation par rapport au repère Image non disponible :

Image non disponible

On sait déjà que le vecteur vitesse s'obtient par dérivation du vecteur position :

Image non disponible

avec la formule de Bour,

Image non disponible

soit :

Image non disponible
Image non disponible

Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire (c'est-à-dire perpendiculaire à Image non disponible), orienté suivant le sens du mouvement de rotation et de norme :

Image non disponible

IV-C. Distribution des vecteurs vitesse

Le résultat précédent montre que la norme de la vitesse tangentielle augmente proportionnellement avec la distance au centre de rotation (au centre de rotation, la vitesse tangentielle est même nulle).

On voit sur la figure ci-dessous que la roue à l'extérieur du virage du véhicule automobile engagé dans un virage circulaire doit tourner plus vite que la roue intérieure si on souhaite éviter le glissement des pneumatiques sur le sol et conserver une certaine stabilité dans la conduite du véhicule.

Image non disponible

Le différentiel monté sur l'axe des roues motrices (à l'arrière du véhicule) est un mécanisme permettant justement de répartir dynamiquement les vitesses de rotation aux deux roues en fonction de la courbure du virage.

V. Accélération tangentielle et centripète

On a déjà vu que l'accélération pouvait être obtenue par dérivation de la vitesse, soit :

Image non disponible

On utilise à nouveau la formule de Bour :

Image non disponible

avec Image non disponible

et Image non disponible,

il vient :

Image non disponible

Image non disponible est la composante tangentielle de l'accélération.

Image non disponible est la composante centripète de l'accélération.

Image non disponible

Si le mouvement de S est un mouvement de rotation uniforme (M.C.U.), c'est l'accélération angulaire Image non disponible qui est nulle à tout instant.
Le point A lié au solide S reste néanmoins accéléré avec une accélération non nulle réduite à sa composante centripète : Image non disponible

VI. Retour à la dynamique et aux lois de Newton

VI-A. Force centripète

Rappelons l'énoncé de première loi de Newton :

Tout corps persévère dans l'état de repos ou de mouvement uniforme en direction, à moins qu'une force n'agisse sur lui et ne le contraigne à changer d'état.

Maintenant, imaginons un dispositif constitué d'un point matériel (de masse m) accroché en M au bout d'un fil et tournant autour d'un axe de rotation (O,z) fixe.

On suppose que le point matériel est animé d'un mouvement de rotation uniforme (M.C.U.), de sorte que son accélération est réduite à sa seule composante centripète Image non disponible.

Image non disponible

Le mouvement n'étant pas la ligne droite, le point matériel ne peut être libre. Il est soumis à une force que l'on détermine avec l'équation fondamentale de la dynamique (deuxième loi de Newton) :

Image non disponible

Cette force centripète induite par la tension du fil et dirigée vers le centre de rotation tend à maintenir le point matériel sur sa trajectoire circulaire.

VI-B. Force centrifuge

On considère à nouveau un véhicule automobile prenant un virage circulaire de rayon r. Supposons que, en situation de virage, le mouvement du véhicule est un mouvement circulaire uniforme (M.C.U.) de façon à ce que, là encore, l'accélération du centre de gravité soit réduite à sa composante centripète Image non disponible .

Changeons de point de vue en imaginant une webcam fixée dans l'habitacle de la voiture et observant un passager assis et sans ceinture de sécurité (situé en G pour simplifier).

Image non disponible

Le spectateur de la vidéo enregistrée verrait immanquablement le passager s'incliner, voire se faire éjecter, vers l'extérieur du virage, soumis à une force mystérieuse.

Comme cela a déjà été expliqué dans le chapitre III-B. Un référentiel d'inertie dans le cas du mouvement de translation, le phénomène provient du fait du changement de point de vue dans un référentiel accéléré Image non disponible(non inertiel) où l'équation fondamentale de la dynamique doit prendre en compte des forces apparentes "d'inertie" :

Image non disponible

la force d'inertie (nommée force centrifuge dans le cas du mouvement de rotation) est due à l'accélération du repère :

Image non disponible

Seuls les joueurs de notre XV de France ("all-white") semblent échapper aux lois de la physique, mais ces gens-là jouent sur une autre planète, non ?
http://youtu.be/-a-uYAw_9oo

Si la force centrifuge constitue un côté fâcheux dans le cas du passager, elle peut être avantageusement utilisée dans de nombreuses applications technologiques.

On évoque, par exemple, le cas du régulateur centrifuge d'un aérogénérateur bipale :

Image non disponible
Image non disponible

Lors du démarrage de la rotation des pales autour de l'axe x (phase 1), l'orientation de celles-ci (angle de calage β sur la figure) par rapport à la direction du vent permet une portance aérodynamique maximale sur les pales qui se mettent à tourner.

La rotation engendre une force centrifuge sur les masses M qui tend à les éloigner de l'axe de rotation et donc à faire diminuer l'angle de calage β (phase 2).

Si la vitesse de rotation devient trop élevée, l'inclinaison est telle que les pales "décrochent" aéorodynamiquement et la vitesse de rotation tend à diminuer (phase 3).

C'est cet asservissement dynamique obtenu grâce à l'effet centrifuge qui permet la régulation de la vitesse de rotation des pales autour d'une vitesse nominale Vn.

VII. Conclusion

Dans ce tutoriel, on s'est limité volontairement au cas du point matériel en mouvement de rotation autour d'un axe fixe.

Même si on avance un peu plus chaque fois dans la compréhension des phénomènes physiques, il reste encore bien des étapes avant de généraliser la dynamique (ne serait-ce que dans sa formulation newtonienne) au cas du solide rigide en mouvement relatif quelconque.

Le chemin est donc encore long afin de prendre en compte tout le cadre général de la mécanique newtonienne dans l'implémentation ou l'utilisation du moteur physique de vos futures applications 2D/3D.

Merci à dourouc05 et à son chat tout plein de pattes pour leur aide très précieuse dans la rédaction de mon premier article. Je remercie également ClaudeLELOUP pour sa relecture orthographique.


À propos des notations mathématiques utilisées dans ce tutoriel :
- Les vecteurs sont notés avec la flèche usuelle Image non disponible.On peut trouver dans la littérature scientifique d'autres notations comme : u (en gras) ou encore u (souligné).
- Les dérivées des fonctions scalaires par rapport au temps sont notées Image non disponible, Image non disponible ou Image non disponible. Vous trouverez également dans la littérature scientifique les notations Image non disponible (dérivée partielle), voire Image non disponible.
- Quant aux dérivées vectorielles par rapport au temps, si elles sont notées ici Image non disponible vous n'êtes pas à l'abri de rencontrer d'autres notations selon les contrées scientifiques, souvent semblables à celles des dérivées des fonctions scalaires.
Là encore, on trouve parfois des notations avec l'utilisation de l'opérateur Image non disponible :Image non disponible
Image non disponiblereprésente la dérivée temporelle par rapport au repère de dérivation fixe et Image non disponiblela dérivée par rapport au repère mobile.
Quelles que soient les notations employées, le tout est de savoir de quoi on parle, n'est-ce pas ?

  

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